निसर्गातली
गणितं, गुपितं आणि 'फिबोनाची श्रेणी'
पृथ्वीवरचं जीवन अजोड आहे. इथल्या सजीव आणि निर्जीव रचनांमध्ये अलोट सौंदर्य, नजाकत आणि
जटीलताही आहे. ठायी ठायी गूढ प्रश्न आणि बेमिसाल गुपितांनां जन्म देणारी निसर्ग नावाची ही जगड्व्याळ प्रणाली ... या प्रणालीमध्ये प्रत्येक क्षण रोज नवी रहस्यं शिंपून जातो ... सजीव म्हणजे काय? ते पृथ्वीवरच का आढळतात? चंद्र -सूर्य- तारे जमिनीवर का उतरत नाहीत ? फुलं का उमलतात? प्राणी का झोपतात? वारी का वाहतात? लाव्हा का उसळतात ?....जीवनानं रसरसलेले मेघ सुपीक जमिनीवर नवोन्मेषाची बौछार करतात आणि कुतूहलाची बहुढंगी पिकं आसमंतात डोलू लागतात! कोटयावधी काळापासून निसर्गाच्या झळाळत्या रहस्यांचा पापुद्रा मानवी आयुष्यांवरून सरकत आहे. त्या रहस्यमयी थरांखाली जीवन अपूर्व लालित्यानं आणि लालसेनं विकसित होत आहे, जीव उत्क्रांत होत आहेत आणि अधिकाधिक सातत्यपूर्ण, नियंत्रित, सफल आणि प्रमाणबद्ध जीवनांचे आकृतिबंध अस्तित्वात येत आहेत.
आजवर त्यातल्या कितीक नैसर्गिक रहस्यांचा भेद उलगडण्यात मानव यशस्वी झाला आहे. कारण तो या निसर्गाचाच सर्वात बुद्धिमान आणि समृध्द बच्चा आहे. परंतु, कितीक सृष्टी - रहस्यं अजूनही जटीलतेत गुंफलेली आहेत. आहे त्या साधनांनिशी ती उलगडण्याची पराकाष्टा माणूस पूर्वापार करीत आला, फार मोजकी साधनं असताना
देखील .... जशी त्याची प्रज्ञा, दुर्दम्य इच्छाशक्ती , कुतूहल आणि गणिताची पाठराखण ! गणित माणसाच्या मेंदूत आहे की मूलतःच अस्तित्वात आहे ! विश्वाचाच भाग आहे ? शास्त्र सांगतं , सारं काही गणितानी घडविलं आहे. विश्व , सजीवसृष्टी, ग्रहगोल, आकाशगंगा सारे घटक विविध गणितीय प्रणालींनी एकमेकांशी
बध्द आहेत. गणिताचं आणि सृष्टीचं नातं विश्वाइतकं जुनं आणि तितकंच अनाकलनीय आहे. सामान्यांना कितीही किल्ष्ट आणि अशक्यप्राय
वाटली तरी ही गोष्ट खरी आहे, ही वस्तुस्थिती आहे. एक संस्कृत वचन आहे.
"बहुभिर्प्रलापैः किम्, त्रयलोके सचरारे। यद् किंचिद् वस्तु तत्सर्वम्, गणितेन् बिना न हि ॥
(इतका प्रलाप कशासाठी ? या चराचर जगतामध्ये जी काही गोष्ट (वस्तू) आहे , ती गणिताशिवाय नाहीये / तिला गणिताशिवाय समजून घेता येणार नाही - गणितसारसंग्रह)
कूट प्रश्नांची उकल कदाचित आपल्याला नाही
पडणार, परंतु निदान या जगातल्या गुपितांकडे निसर्गाच्या नजरेतून बघता तर येईल किंवा त्यांच्या डोळ्यांनी सृष्टी नक्की पाहता येईल, ज्यांनी सृष्टीतलं गणित जाणून घेतलंय !
गणिती बुद्धीनं निसर्गाकडे पाहणारा आणि त्याच्या रहस्यांची आव्हानं पेलू पाहणारा असाच एक होता 'लेओनार्दो फिबोनाची' ऊर्फ 'पिसाचा लियोनार्दो' (इ.स. ११७० - १२४०) हा बाराव्या शतकातला 'रिपब्लिक ऑफ पिसाचा' गणितज्ञ ! सधन
व्यापारी कुटुंबात जन्मलेल्या गणितप्रेमी फिबोनाचीनं
व्यापारानिमित्त भूमध्य सागरकिनाऱ्यालगतच्या निरनिराळ्या देशांना भेटी
दिल्या. या प्रवासादरम्यान त्यानं अनेक व्यक्तींकडून अंकगणिताच्या विविध पद्धती
आत्मसात केल्या. अरब विद्वानांकडून शिकलेल्या अरेबिक गणितानं मात्र त्याला प्रचंड प्रभावित केलं. पुढं त्यानं त्याचा युरोपभर प्रसारही केला. फिबोनाचीने "लिबेर अबाची" ('मोजणीचं पुस्तक') आणि "लिबेर क्वाद्रातोरुम" ('वर्गांचं पुस्तक') या दोन गणिती ग्रंथांची निर्मिती केली. या ग्रंथनिर्मिती दरम्यान एका प्रश्नाचा छडा फिबोनाचीनं लावला आणि
त्याच्या भाग्याची सोनेरी चक्रं फिरू लागली. प्रश्न होता 'सशांच्या एका जोडीद्वारे एका वर्षात किती ससे जन्माला येतील?' भले काहीशा अवास्तव धारणांवर आधारलेला असो, परंतु सशांच्या प्रजोत्पादनविषयीच्या फिबोनाचीच्या या प्रश्नानं "फिबोनाची श्रेणी" (Fibonacci Sequence)
ला जन्म दिला आणि 'निसर्गातल्या
वाढीच्या जैविक प्रक्रियांसह कितीक रहस्यांवरचा पडदा पाहता पाहता उघडला गेला !
फिबोनाची अंकश्रेणी शून्यापासून
सुरु न होता १ या अंकापासून सुरु होते. हिचं वैशिष्ट्य म्हणजे या श्रेणीतला प्रत्येक अंक हा मागील दोन अंकांच्या बेरजेइतका असतो. आता ही अंकश्रेणी पहा -१,१,२,३,५,८,१३, २१,३४,५५,८९,१४४, ..... इत्यादी. ही अनंत आहे ! या
अंकश्रेणीचं अजून एक जबरदस्त वैशिष्ट्य म्हणजे या
क्रमवारीतल्या कुठल्याही आकड्याला त्याच्या पाठच्या आकड्यानं भागलं असता आपल्याला
जगातलं एक जादुई गुणोत्तर
मिळतं, ते म्हणजे "गोल्डन
रेशो" = 1.618034 (याचं एकक
Phi Φ आहे. इथं 'सुवर्ण' शब्दाचा अर्थ 'बहुमोल', 'अनमोल' या अर्थानं घ्यावा.) गोल्डन रेशोला ‘गोल्डन मीन’, ‘गोल्डन सेक्शन’ आणि ‘गोल्डन प्रोपोर्शन’ असे देखील म्हणतात.
जेव्हा कुठलेही गुणोत्तर १.६१८०३ या
नंबरच्या आसपास येते, त्यावेळी संबंधित गोष्टी एकमेकांशी अगदी अचूकपणे प्रमाणात
आहेत असे म्हणले जाते. ज्या आयताची लांबी आणि रुंदी फिबोनाची श्रेणीतील कुठल्याही दोन क्रमांकांनी युक्त आहे, अशा आयताला "गोल्डन किंवा परफेक्ट रेक्टयांगल' म्हणजेच ‘सुवर्ण किंवा परिपूर्ण आयत' असं म्हणतात. उदा. १२.९४ सेंमी. लांबीचा आणि ८ सेंमी. रुंदीचा आयत ‘गोल्डन रेक्टयांगल’ होय. कारण १२.९४ भागिले ८ = १.६१७५, जे गुणोत्तर गोल्डन रेशोच्या, १.६१८०३ च्या
अगदी जवळ आहे ! गोल्डन रेक्टयांगल’
पुढे अधिकाधिक सुवर्णी आयतांमध्ये विभाजित केला असता सर्व आयतांना आतून स्पर्शून जाणारा एक चक्राकार आकृतिबंध
(कमान) मिळतो, हीच 'गोल्डन आर्च' होय.
अशी सुवर्ण कमान आणि ‘गोल्डन प्रोपोर्शनस्’
साधून निर्मित होणाऱ्या विलक्षण मनमोहक, प्रमाणबध्द , अतिसुंदर रचनांमुळे
डिझाईन उद्योग, जाहिरातींचं विश्व , चित्रोद्योग, कला, सौंदर्यशास्त्र, वास्तूशास्त्र, शिल्पकला, चित्रकला अशा जीवनांच्या सर्व वाटांवर गोल्डन रेशो नं जगातल्या असंख्य बुद्धिमंतांना अक्षरशः वेडं केलंय आणि त्याचा अमीट प्रभाव जगातल्या सर्व संस्कृतींमध्ये, आजवर निर्मित झालेल्या सर्वात अदभुत अशा रचनांमध्ये स्पष्ट दिसून येतो. अथेन्स मधील ४४७ ते ४३८ बी सी मध्ये बांधले गेलेलं प्राचीन मंदिर "पार्थेनॉन' प्राचीन ग्रीक स्थापत्यशास्त्राचा अतुलनीय नमुना मानला जातो. हे मंदिर गोल्डन रेशोवर आधारित घडले आहे
. लिओनार्दो दा विंची ची जगप्रसिद्ध ‘मोनालिसा’ गोल्डन रेशो मध्ये वसली आहे. २५६० बी सी मध्ये साकारलेलं ईजिप्त मधील ‘गिझाचे ग्रेट पिरॅमिड्स’ गोल्डन रेशोंचे अचंबित व्हावे असे उदाहरण आहे .
व्हायोलिन आपल्या सुबक आणि प्रमाणबद्ध आकारासाठी
जगप्रसिद्ध आहे. उच्चतम दर्जाचे स्वर आणि आवाजाच्या योग्य
प्रक्षेपणासाठी व्हायोलिनची सर्वांगीण प्रमाणबद्धता मोठी महत्वाची आहे.
त्यासाठी व्हायोलिनचा एक भाग दुसऱ्या भागाच्या
प्रमाणबद्धतेशी 'गोल्डन रेशो' साधून असतो.
घटकांमधली परस्पर प्रमाणबद्धता इतकी का आवश्यक असते? आपला हात पहा. हाताचे दोन भाग विशिष्ट लांबीचे आहेत,
विशिष्ट अंतरावर ते वळतात.
विशिष्ट अंतरावर हाताचा पंजा सुरु होतो, विशिष्ट लांबी रुंदीची बोटं परस्परांपासून विशिष्ट अंतर राखून आहेत. बोटांवर विशिष्ट अंतरांवर, विशिष्ट लांबी रुंदीची पेरं आहेत. यातली कुठलीही एक गोष्ट जर प्रमाणबद्धतेच्या गणिताबाहेर गेली तर विचार करा की किती गहजब होईल ! आपल्या हाताची स्वतःच्या इतर भागांशी असलेली प्रमाणबद्धता आणि हाताची इतर उरलेल्या शरीरावयांशी असलेली प्रमाणबद्धता हाताच्या उत्कृष्ट कार्यक्षमतेची कळ आहे. ही प्रमाणबद्धता नसेल तर शरीराचे बाह्य सौंदर्य तर नाहीसे होईलच, परंतु मानवी कार्यशक्तीचेहि देखील मोठे नुकसान होईल. नैसर्गिक दळणवळणामध्ये जैविक घटकांच्या सार्वकालिक सर्वोत्तम कार्यक्षमतेसाठी त्या घटकांमध्ये अधिकधिक सुलभ परस्पर समन्वय, परस्पर सामंजस्य, परस्पर अवलंबवित्व असणं अत्यावश्यक असतं. .तरच निसर्गातली प्रत्येक गोष्ट विशिष्ट आकारउकारासह, विशिष्ट वेळेमध्ये, विशिष्ट जागेवर, विशिष्ट ऊर्जेच्या बचतीसह प्रदर्शित होऊ शकते. प्रत्येक जैवघटकाचं जीवन प्रणालींमधील स्थान, माहात्म्य आणि गरज कायम राखण्यासाठी, अबाधित राखण्यासाठी हा नैसर्गिक वचक अत्यावश्यक असतो. निसर्गातील गोल्डन रेशो हा असा 'नैसर्गिक वचक प्रणाली' चा एक भाग असावा असं वाटतं !
निसर्गातल्या अनेक प्रकारच्या प्रक्रियांमध्ये, जीवनाच्या सर्व शाखांमध्ये, ज्ञानशाखांमध्ये "फिबोनाची
श्रेणी" आणि "गोल्डन
रेशो" चं अनन्यसाधारण स्थान असल्याचं निदर्शनास आलं आहे. फुलांतल्या बीजांची मांडणी, पाकळ्यांच्या रचना, झाडांच्या पानांची मांडणी, पाईनकोन-अननस यांची चक्राकार साल, फळांच्या आतील संरचना,
कापलेल्या कोबीच्या आतील पानांची चक्रीय रचना , कडाडणाऱ्या विजांचे आकृतिबंध, ढगांचे चमत्कृतिपूर्ण आकार, कमी दाबाचे हवेचे पट्टे, गोल गोल वळसेदार लाटा, शिंपल्यांच्या चक्राकार रचना, डॉल्फिन्स- स्टारफिश यांच्या शरीर रचना, इतकंच नाही तर वित्त, कला, स्थापत्यशास्त्र, संगीत, पेन्टिंगज्, भौमितीय आकृतिबंधांमध्ये , मानवी शरीररचनांमध्ये देखील ‘सुवर्ण प्रमाणां’ मुळं (Golden
Proportions) वेगवेगळ्या प्रकारे प्रमाणबध्दता निर्माण होऊन कार्यक्षमतेचे
अत्त्युच्च मापदंड निर्माण झाले आहेत. सूर्यफुलाच्या वाढीच्या
अवस्थेमध्ये बीजं फुलाच्या मध्यभागी पैदा होतात आणि बाहेरच्या
दिशेनं कडांकडे सरकत जात सगळी जागा व्यापतात. घड्याळाच्या
काट्यांप्रमाणे वळणाऱ्या ३४ चक्राकार रचना आणि काट्यांच्या विरुध्द वळणाऱ्या २१ चक्राकार रचना अशा दोन चक्राकार बीज रचना करीत प्रत्येक
बीजाला वाढीसाठी पुरेशी जागा आणि सूर्यप्रकाश खात्रीशीरपणे मिळावा
अशीच सोय फुलामध्ये साकारलेली असते. अशाप्रकारे आहे त्या जागेत अधिकाधिक म्हणजे १४४ किंवा
त्याहून अधिक बीजं मावतील यासाठी बीजांची परिपूर्ण घट्ट मांडणी केलेली
दिसते. मजेची बाब म्हणजे २१, ३४, १४४ हे सर्व फिबोनाची
मालिकेतले क्रमांक आहेत!
फुलांच्या पाकळ्यांची संख्या हे फिबोनाची
श्रेणीचं अजून एक मोठं उदाहरण ! लिली, आयरिसला ३,
बटरकपला ५, डेल्फीनिमला ८, कॉर्न मेरीगोल्डला १३, ऍस्टर चिकोरीला
२१, डेझीला ३४ अशी पाकळ्यांची संख्या असते. पाकळ्यांच्या
रचना गोल्डन रेशोचा अंगीकार करतात, उपलब्ध
जागेमध्ये अतिशय प्रमाणबद्ध पद्धतीनं पाकळ्या रचलेल्या असतात, ज्यायोगे
फुलाचे सौंदर्य तर खुलतेच परंतु, प्रत्येक पाकळीला वाढीसाठी पुरेशी जागा,
नेमका सूर्यप्रकाश आणि इतर घटक यांचा लाभ होतो. झाडांच्या शाखांच्या चक्राकार रचनेनं देखील प्रत्येक फांदीला पुरेसा, आवश्यक तेवढाच सूर्यप्रकाश लाभतो.
कुठलाही आविष्कार वैयक्तिक शैलीच्या अभिव्यक्तिशिवाय परिपूर्ण होत नाही. कुठलंही शिल्प,
इमारत, चित्र, साहित्य यामध्ये रचनाकाराची स्वमुद्रा (ट्रेडमार्क), व्यक्तिमत्व (Individuality),
त्याची अद्वितियता (Uniqueness), त्याचा विशिष्ठ दर्जा ठळकपणेउपस्थित असतो,
ज्यामुळे त्याच्या रचनेला इतरांपेक्षा वेगळं, विलक्षण परिमाण लाभते. निसर्ग असा एक असाधारण रचनाकारआहे. नॉटिलसचं शंखाकार आवर्ती कवच आकाशगंगेच्या चक्राकार रचनेशी मिळतंजुळतं आहे,
पण जगातल्या जवळपास ७०० कोट जनसंख्येमध्ये कुणाही एका व्यक्तीच्या बोटांचे ठसे
दुसऱ्या व्यक्तीच्या बोटांच्या ठशांशी मिळतेजुळते नाहीत. माणसांमधली
एक्मेवाद्वितियता निसर्गानं अशी त्यांच्या हस्तमुद्रांमध्ये लपवलीये. म्हणजेच, या
जगातल्या जवळपास नऊ कोट प्राणी
प्रजाती आणि पाच लक्ष वनस्पती प्रजातींच्या अक्राळविक्राळ पसाऱ्यामध्ये
देखील तुमच्या माझ्यासारखी एक न एक व्यक्ती या जगात स्वतःचं विशेष
स्थान राखून आहे !! आहे की नाही कमाल !! ही विलक्षण "गोल्डन प्रोपोर्शन्स
(सुवर्ण प्रमाणं)" निसर्ग कशी साधत असेल ? अशी अनोखी अद्वितियता सर्वत्र
निर्माण करण्यासाठी निसर्गाला स्वतःच्याच कठोर परीक्षांमधून
जावे लागत असेल का ? या सोनेरी पडद्यामागची सुंदरी
"उत्क्रांतीच" आहे काय ? अमाप प्रश्नं आहेत. त्यांचा धांडोळा
घेत राहणं आणि निसर्गाची जगभर विखुरलेली गणिताच्या
पुस्तकाची पानं शोधून शोधून समजून घेत वाचत राहणं,
हे आपलं काम आहे.
